Fim de ano e é tradição do nosso país realizar amigo invisível. A brincadeira é tão simples quanto conhecida, por isso não vou entrar em detalhes. Algo frustrante, pelo menos no sorteio, é quando alguém sai com o próprio nome e, teoricamente, todos deveriam realizar o sorteio novamente para garantir o pretendido segredo (supostamente, com quem saímos deve ser surpresa para todos os outros). Uma pergunta natural parece ser:
Qual a probabilidade de que em um sorteio com n pessoas, ninguém tire o próprio nome?
Para facilitar, vamos inicialmente adotar um grupo de 10 pessoas, ou seja, n=10.
Em combinatória, quando uma fila é reorganizada de forma que nenhum elemento permaneça na mesma posição, dizemos que é uma permutação caótica (ou desarranjo). Pense nas 10 pessoas formando uma fila e cada uma delas com o papel com seu nome na mão. Em um sorteio de amigo invisível que deu certo, os papéis são trocados e vão todos para mãos diferentes. Em outras palavras, um sorteio de amigo invisível ótimo deve ser uma permutação caótica.
Felizmente, existe uma fórmula para calcular isso e está na página de desarranjo da Wikipedia. No caso de 10 pessoas, o número total de sorteios possível é 3.628.800 (10!, pelo Princípio Fundamental da Contagem). O número de sorteios ótimos, ou seja, o número de sorteios em que ninguém sai com seu próprio nome é de 1.334.961 (a fórmula do cálculo desse número encontra-se abaixo). Logo, a probabilidade de que em um sorteio com 10 pessoas ninguém saia com seu próprio nome é de
$\dfrac{1.334.961}{3.628.800}\approx 0.367879$
ou seja, aproximadamente 37% de chance de que o sorteio dê certo.
Abaixo, uma tabela de probabilidades. A linha de cima apresenta o número de pessoas envolvidas no Amigo Invisível e a de baixo a chance de que ninguém saia com o próprio nome.
Pessoas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Chance (%)
100
0
50
33.3333
37.5
36.6667
36.8056
36.7857
36.7881
36.7879
36.7879
ATENÇÃO, a parte abaixo é puramente matemática, mas sem muito rigor :)
Vamos calcular a probabilidade de um sorteio de amigo invisível com n pessoas ser ótimo, ótimo no sentido de ninguém sair com o próprio nome.
Temos que
$P=\dfrac{\#(E)}{\#(\Omega)}$
No caso, E é o conjunto dos sorteios ótimos, Ω o conjunto de todos os sorteios e #(A) é a cardinalidade do conjunto, ou seja, seu número de elementos. Pela referência (super confiável) da Wikipedia e pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos que
Se o número de pessoas for muito grande, exageradamente grande (maior do que qualquer número que você pensar), ou seja, fazendo n tender ao infinito, temos que.
"A multiplicação é comutativa"; "em todo triângulo, a soma dos ângulos internos é 180º"; "números negativos não têm raízes quadradas"; "fórmula de Bháskara". Essas frases comumente ditas por professores de Matemática merecem uma atenção especial: nem sempre elas são verídicas.
A multiplicação é comutativa
Depende. Se estivermos multiplicando números com a operação comum, realmente, tanto faz 2x3 e 3x2. Agora, depende dos objetos que você multiplica e do que você chama de multiplicação. Ao multiplicarmos matrizes (conteúdo do segundo colegial, atualmente), podemos ter resultados diferentes de AxB e BxA.
Em todo triângulo, a soma dos ângulos internos é 180º
Depende de onde você está. Nas minhas aulas, eu costumo trocar essa frase por "na geometria usual, a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º". Às vezes dou uma breve explicação do motivo, às vezes não (um professor não precisa contar todos os detalhes o tempo todo, mas este tipo de comentário pode instigar perguntas interessantes). Sobre o planeta Terra, se duas pessoas estiverem sobre a linha do Equador, verão o polo norte por um ângulo reto, cada uma delas. O triângulo sobre a esfera da terra, tem soma dos ângulos maior que 180º. Em outros tipos de geometria, como a geometria hiperbólica, a soma dos ângulos internos é menor que 180°.
Números negativos não têm raiz quadrada
Alguns professores mais cautelosos usam a frase "números negativos não possuem raiz real", que é mais indicada. Nos números complexos (matéria do terceiro colegial que deveria ser rebatizada pois o nome passa uma ideia pejorativa), os números negativos possuem raiz quadrada: $\sqrt{-9}=3i$, $\sqrt{-4}=2i$, $\sqrt{-1}=i$. Curiosamente essa definição permite encontrar cossenos maiores que 1, logaritmo de números negativos, exponenciais com base positiva resultando em número negativo. Os números complexos dão nó na maioria das frases ditas seguramente por professores de Matemática.
Fórmula de Bháskara
Essa expressão resume uma das maiores injustiças Matemáticas cometidas no Brasil. Sim, no Brasil. No exterior, a expressão imortal $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ é conhecida por Fórmula Quadrática. Bhaskara Acharya, matemático indiano do século XII, publicou vários livros interessantes, mas nunca escreveu essa fórmula. Na verdade, ele nunca escreveu fórmula nenhuma, já que as fórmula foram criadas cerca de 400 anos após sua morte. No tempo do Bhaskara, equações eram resolvidas por meio de regras. E sim, Bhaskara conhecia a regra da "fórmula de Bháskara", assim como outros matemáticos anteriores a ele conheciam.
Existem algumas outras frases ditas comumente que não valem em todos os contextos. Se seu professor de Matemática utiliza alguma dessas, ele não está errado, é uma escolha dele. Quando se ensina algo, não convém contar todos os detalhes. Na prática letiva, poderíamos nos aprofundar em assuntos (interessantes, mas) desnecessários, o que poderia atrasar o conteúdo e comprometer o cumprimento do plano de ensino. Essas curiosidades servem para mostrar que a Matemática pode ser diversificada, nem sempre exata, interessante, pulsante e viva.
Referências
*http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/bhaka.html
*Cálculo em uma Variável Complexa - Marcio G. Soares (essa referência foi formatada de acordo com as normas BANT, Blog do Alexandre Normas Técnicas)
*Notas de Aula de Geometria não Euclidiana do professor Edson Agustini
De Jesus Cristo todos já ouvimos falar. Biblicamente, após a crucificação, Jesus foi envolvido em um tecido, que dizem ser o que está na imagem abaixo:
Religião à parte, não se pode negar que tenha uma história interessante. A imagem da direita, muito mais nítida que a da esquerda, trata-se na verdade do negativo.
O Sudário de Turim, ou o Santo Sudário é uma peça de linho que mostra a imagem de um homem que aparentemente sofreu traumatismos físicos de maneira consistente com a crucificação.
A origem da peça conhecida como Santo Sudário tem sido objeto de grande polêmica. Para descrever seu estudo geral, os pesquisadores cunharam o termo "sindonologia", do grego σινδών—sindon, a palavra usada no evangelho de Marcos para descrever o tipo de tecido comprado por José de Arimateia para usar como mortalha de Jesus.
O Carbono 14 (C14) é um isótopo natural do elemento Carbono que apresenta meia-vida de aproximadamente 5730 anos. Com base neste número, é possível fazer datação de objetos arqueológicos, pela análise de madeira, carbono, sedimentos orgânicos, ossos, conchas marinhas e outros. As amostras tem de ter até 50 mil anos para melhor precisão.
Em 1989 fizeram um teste de C14 para determinar a idade do Sudário. Uma medição aferiu que a quantidade encontrada no pano é 92% da encontrada em material orgânico atual. Em outras palavras, a porção de C14 era 92% da de um tecido que foi produzido agora, com plantas de hoje.
Sejam:
m(t) a quantidade de C14 no instante t;
t₀ o momento em que a matéria-prima do sudário foi plantada (o momento inicial do C14);
m₀ a quantidade de C14;
5730 a meia-vida do C14;
o teste de 1989 com 0,92.m₀;
Se você não sabe Equações Diferenciais Ordinárias ou não tem curiosidade, pule a parte seguinte, que está com o fundo cinza. A taxa de variação do C14 é proporcional à quantidade em cada instante. Esta última afirmação nos permite montar e a seguinte equação para determinar t₀, ou seja, o ano em que teria sido plantada a matéria prima do Sudário:
Substituindo o valor do teste de 1989, temos:
Da meia-vida, ficamos com:
Dividindo (1) por (2), para desconsideramos a constante k:
Efetuando a conta para encontramos t₀:
Isto significa que o sudário teria que ser produzido no século XIII ou XIV. Nossa conta data dentro do período que os cientistas divulgaram.
Essa faixa de anos deve-se ao fato de que o teste foi realizado por mais de um laboratório a partir de diferentes amostras do tecido, todas do mesmo canto do sudário.
Apesar de matematicamente as contas apontarem para uma falsificação, existem outros fatores que devem ser observados. Houve um incêndio no final da Idade Média, o que poderia ter acrescentado carbono reativo à composição do tecido invalidando a aplicação da análise por carbono. A datação do sudário foi contestada pelo argumento de contaminação bacteriana. Devido aos acidentes, a datação não seria exata.
Os defensores do sudário como relíquia tem voltado a atenção aos métodos naturais que possam ter produzido a imagem, a partir do corpo crucificado de Jesus Cristo. Os crentes mais ortodoxos argumentam que tenha surgido por milagre e como tal, não carece de mais explicação. No entanto, no seio da comunidade católica, há quem procure investigar o problema de forma científica.
O casal Sue Benford e John Marino, ambos não cientistas, descobriram uma pista que pode ser esclarecedora, pela análise de fotos. O local de onde as amostras foram tiradas apresentava um padrão diferente na confecção, uma mistura de tecidos do século I e XVI. Estranhamente, se fosse o caso, a datação apontaria para os séculos XIII e XVI, da faixa do resultado. Ray Rogers, cientista, comprovou depois a teoria do casal, que o sudário havia sido retecido e tingido, na área da datação.
O pólen das plantas que constam no sudário são compatíveis com as da região do Oriente Médio, algumas que florescem apenas na páscoa. Na parte da cabeça da figura, há um pólen de uma planta espinhosa, como a coroa relatada na crucificação. No tecido, existe sangue masculino do tipo AB positivo (receptor universal, se podemos fazer algum trocadilho sugestivo) e nenhuma marca de pinceladas ou indícios de que pudesse ter sido forjado.
Apesar do fato de as figuras da crucificação trazerem os pregos na palma da mão, foi comprovado que isso não seria plausível, vez que o crucificado cairia. Os pregos deveriam ser fincados nos punhos. O tecido do sudário é apresenta esta forma. Mas ao perfurarmos tão significantemente o punho, o dedão se dobra involuntariamente sobre a palma da mão (como se se formasse um 4). Existe na região do tronco uma perfuração por lança cujo ferimento não contradiz o tipo de lança que os romanos utilizavam na época. Tudo isso, o sudário apresenta.
Acreditar ou não, pode ser mais uma questão de fé. Se for falsificação, é muito bem feita, tanto que mesmo com os recursos mais atuais a "falsificação" não pode ser comprovada.
Braun, Martin. Differential Equations and Their Applications. Springer.
Agradecimentos:
Douglas Silva Oliveira
Karolline Alves Cardoso
Luliane Pereira de Rezende
Matheus Alves Machado Reis
Todos colaboraram no trabalho para a disciplina Cálculo 4, do curso de Matemática - UFU, ministrado pelo professor Luiz Alberto Duran Salomão, que foi a base para a postagem.
Para quem sabe ler, meia palavra basta; para quer sabe matemática, apenas 9 dos 11 dígitos do Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) bastam - os outros 2, nós descobrimos. A verdade é que estes dois últimos dígitos são os chamados "dígitos verificadores". Eles dependem dos outros 9. Em outras palavras, existe uma relação matemática entre os primeiros 9 e os 2 últimos.
Vamos ver então qual é esta relação:
Consideremos o CPF com os seguintes dígitos:
a1 a2 a3 . a4 a5 a6 . a7 a8 a9 - b1 b2
Para descobrirmos o dígito b1, procedemos da seguinte maneira:
multiplicamos o primeiro por 1, o segundo por 2, o terceiro por 3, o quarto por 4 e vamos assim até multiplicarmos o nono por 9. Então, somamos tudo isto. Após termos somado tudo, dividimos por 11. O dígito b1 será o resto da divisão.
A nível de ensino fundamental e médio, a conta é a seguinte:
b1 é o resto de:
Com notação de faculdade, poderia ser assim:
Já para o segundo dígito verificador, temos o seguinte:
multiplicamos o primeiro por 9, o segundo por 8, o terceiro por 7, o
quarto por 6 e vamos assim até multiplicarmos o nono por 1. Então,
somamos tudo isto e dividimos por 11. O dígito
b2 será o resto da divisão.
Fundamental ou médio:
b2 é o resto de:
Superior:
A calculadora no começo da postagem confere automaticamente um CPF: insira os 9 primeiros dígitos para ver qual seria os dois últimos.
Se alguém te informar um CPF e você jogar ele nesta página e os dois últimos dígitos derem errado, provavelmente esta pessoa inventou este CPF ou errou algum dígito. Se der certo não quer dizer nada - pode ser que ela conheça esta regra também. Alternativamente, pode-se utilizar esta página para criar um CPF que passe neste teste também.
Para quem tem blog ou site e precisa escrever alguma fórmula matemática, a dica é usar o Codecogs. Com ele, quem sabe editar Latex vai se sentir em casa. Quem não sabe também pode dar um jeito, afinal, ele possui guias que facilitam o trabalho. Basta clicar e automaticamente ele gera o código que é exibido. Vamos ver um exemplo com a famosa e útil Fórmula de Bháskara.
Na imagem, em 1 temos as guias para nos ajudar a digitar a equação, caso esqueçamos ou não saibamos alguma sintaxe, o que é comum quando se trabalha com Latex. Em 2, tem o campo gerado pela guia 1 ou onde podemos digitar, se soubermos a sintaxe dos comandos. Em 3, como nossa equação está ficando. Em 4, o código que devemos colar no blog.
Para colar o código do 4, vá em Nova Postagem e escolha editar em HTML e cole tudo. Então, basta ir em Escrever e continuar com a postagem, de maneira semelhante a esta ou esta postagem.
De acordo com um recente artigo da Science, estudantes que lutam para aprender matemática podem ter uma disfunção neurológica que inibe a aquisição de conceitos básicos de aritmética*. Essa disfução tem nome, discalculia (em inglês dyscalculia), tradução livre, e seria, na matemática, o equivalente da dislexia, e tão comum quanto.
De acordo com o estudo, estima-se que 7% da população tenha discalculia e, no entanto, é negligenciada enquanto disfunção. Apesar disso, um esforço mundial de cientistas e educadores identificou as áreas do cérebro responsáveis pela aquisição do conhecimento de aritmética e revelou anomalias no cérebro de quem possui discalculia.
Uma pesquisa mostra qual tipo de ajuda é mais necessária - o reforço dos conceitos básicos de número. Isto pode ser conseguido com ensino especializado, que pode ser feito com jogos, softwares, que se adaptem ao nível do aluno. Como a dislexia, a discalculia é uma condição com a qual se nasce, e podem ser hereditárias em muitos ou a maioria dos casos. Uma investigação com gêmeas de populações especiais sugere que uma deficiência no aprendizado de aritmética tem grande caráter genético, mas os genes responsáveis ainda não foram identificados. A professora Diana Laurillard, também co-autora e membro do CEN, do Institute of Education (IOE), University of London, disse: "Só porque discalculia é herdada não significa que não há nada que possa fazer a respeito. Como a dislexia, o ensino especializado pode ajudar. No IOE desenvolvemos softwares especificamente para ajudar as crianças com discalculia, baseados no exame cerebral que mostra exatamente quais os problemas que o cérebro tem." Um dos principais desafios para compreender a discalculia é fazer com que cientistas de diferentes áreas se entendendam. A criação de centros interdisciplinares e inter-institucionais para promover o trabalho conjunto, como o Centre for Educational Neuroscience instituído pela University College London (UCL), o Institute of Education, University of London e Birkbeck University of London, pretende abordar este desafio. Laurillard acrescentou: "Pesquisas da neurociência e da psicologia do desenvolvimento dizem que os alunos com discalculia tem necessidade de praticar várias tarefas de manipulação numérica, muito mais do que os alunos regulares. Jogos, com foco em tornar os números mais significativos, à maneira que os professores qualificados em necessidades educativas especiais, podem ajudar alunos além da sala de aula e construir o entendimento básico de que necessitam para a aritmética ". O que é discalculia?
Indicadores comuns de discalculia são: (i) comprar números simples contam para realizar adições, muitas vezes usando os dedos, muito além da idade normal, e (ii) achar tarefas de estimativa aproximada difíceis. Os indivíduos identificados com discalculia comportam-se diferentemente de seus colegas regulares, como por exemplo:
Para dizer qual é a maior das duas cartas de baralho, mostrando 5 e 8, eles contam todos os símbolos em cada uma.
Para colocar cartas de baralho em ordem, um 8 entre um 3 e um 9, eles contam-se os espaços entre os dois para identificar onde o 8 deve ser colocado.
Para contar regressivamente do 10 ao 1, eles contam do 1 ao 10, em seguida do 1 ao 9, etc.
Para contar em dezenas do 70, eles dizem 70, 80, 90, 100, 200, 300...
Estimam que a altura de um quarto normal, como "60 metros?"
*Aritmética: Ciência que estuda as propriedades dos números e as operações que com eles se podem realizar. (Michaelis). Ou seja, é a parte mais básica da matemática: os números e as operações (adição, subtração, multiplicação e divisão).
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