segunda-feira, 15 de dezembro de 2014

Amigo Invisível: Qual a Probabilidade de Dar Certo?

Fim de ano e é tradição do nosso país realizar amigo invisível. A brincadeira é tão simples quanto conhecida, por isso não vou entrar em detalhes. Algo frustrante, pelo menos no sorteio, é quando alguém sai com o próprio nome e, teoricamente, todos deveriam realizar o sorteio novamente para garantir o pretendido segredo (supostamente, com quem saímos deve ser surpresa para todos os outros). Uma pergunta natural parece ser:

Qual a probabilidade de que em um sorteio com n pessoas, ninguém tire o próprio nome?

Para facilitar, vamos inicialmente adotar um grupo de 10 pessoas, ou seja, n=10.

Em combinatória, quando uma fila é reorganizada de forma que nenhum elemento permaneça na mesma posição, dizemos que é uma permutação caótica (ou desarranjo). Pense nas 10 pessoas formando uma fila e cada uma delas com o papel com seu nome na mão. Em um sorteio de amigo invisível que deu certo, os papéis são trocados e vão todos para mãos diferentes. Em outras palavras, um sorteio de amigo invisível ótimo deve ser uma permutação caótica.

Felizmente, existe uma fórmula para calcular isso e está na página de desarranjo da Wikipedia. No caso de 10 pessoas, o número total de sorteios possível é 3.628.800 (10!, pelo Princípio Fundamental da Contagem). O número de sorteios ótimos, ou seja, o número de sorteios em que ninguém sai com seu próprio nome é de 1.334.961 (a fórmula do cálculo desse número encontra-se abaixo). Logo, a probabilidade de que em um sorteio com 10 pessoas ninguém saia com seu próprio nome é de

$\dfrac{1.334.961}{3.628.800}\approx 0.367879$

ou seja, aproximadamente 37% de chance de que o sorteio dê certo.

Abaixo, uma tabela de probabilidades. A linha de cima apresenta o número de pessoas envolvidas no Amigo Invisível e a de baixo a chance de que ninguém saia com o próprio nome.

Pessoas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Chance (%) 100 0 50 33.3333 37.5 36.6667 36.8056 36.7857 36.7881 36.7879 36.7879


ATENÇÃO, a parte abaixo é puramente matemática, mas sem muito rigor :)

Vamos calcular a probabilidade de um sorteio de amigo invisível com n pessoas ser ótimo, ótimo no sentido de ninguém sair com o próprio nome.

Temos que

$P=\dfrac{\#(E)}{\#(\Omega)}$

No caso, E é o conjunto dos sorteios ótimos, Ω o conjunto de todos os sorteios e #(A) é a cardinalidade do conjunto, ou seja, seu número de elementos. Pela referência (super confiável) da Wikipedia e pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos que

$P=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dfrac{n!}{k!}}{n!}$

$P=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!}$

$P=\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{5!}+\cdots+(-1)^n\dfrac{1}{n!}$


Se o número de pessoas for muito grande, exageradamente grande (maior do que qualquer número que você pensar), ou seja, fazendo n tender ao infinito, temos que.

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} P=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!}=e^{-1}$

A última parte pode ser percebida fazendo n=-1 na série de Taylor da função exponencial.

Logo, quanto maior o número de pessoas em um sorteio, mais próxima a probabilidade estará de 1/e = 0.36787944117144233 ≈ 36,7879 %.

segunda-feira, 13 de outubro de 2014

Verdades Matemáticas Parciais

"A multiplicação é comutativa"; "em todo triângulo, a soma dos ângulos internos é 180º"; "números negativos não têm raízes quadradas"; "fórmula de Bháskara". Essas frases comumente ditas por professores de Matemática merecem uma atenção especial: nem sempre elas são verídicas.

A multiplicação é comutativa
Depende. Se estivermos multiplicando números com a operação comum, realmente, tanto faz 2x3 e 3x2. Agora, depende dos objetos que você multiplica e do que você chama de multiplicação. Ao multiplicarmos matrizes (conteúdo do segundo colegial, atualmente), podemos ter resultados diferentes de AxB e BxA.

Em todo triângulo, a soma dos ângulos internos é 180º
Depende de onde você está. Nas minhas aulas, eu costumo trocar essa frase por "na geometria usual, a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º". Às vezes dou uma breve explicação do motivo, às vezes não (um professor não precisa contar todos os detalhes o tempo todo, mas este tipo de comentário pode instigar perguntas interessantes). Sobre o planeta Terra, se duas pessoas estiverem sobre a linha do Equador, verão o polo norte por um ângulo reto, cada uma delas. O triângulo sobre a esfera da terra, tem soma dos ângulos maior que 180º. Em outros tipos de geometria, como a geometria hiperbólica, a soma dos ângulos internos é menor que 180°.

Números negativos não têm raiz quadrada
Alguns professores mais cautelosos usam a frase "números negativos não possuem raiz real", que é mais indicada. Nos números complexos (matéria do terceiro colegial que deveria ser rebatizada pois o nome passa uma ideia pejorativa), os números negativos possuem raiz quadrada: $\sqrt{-9}=3i$, $\sqrt{-4}=2i$, $\sqrt{-1}=i$. Curiosamente essa definição permite encontrar cossenos maiores que 1, logaritmo de números negativos, exponenciais com base positiva resultando em número negativo. Os números complexos dão nó na maioria das frases ditas seguramente por professores de Matemática.

Fórmula de Bháskara
Essa expressão resume uma das maiores injustiças Matemáticas cometidas no Brasil. Sim, no Brasil. No exterior, a expressão imortal $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ é conhecida por Fórmula Quadrática. Bhaskara Acharya, matemático indiano do século XII, publicou vários livros interessantes, mas nunca escreveu essa fórmula. Na verdade, ele nunca escreveu fórmula nenhuma, já que as fórmula foram criadas cerca de 400 anos após sua morte. No tempo do Bhaskara, equações eram resolvidas por meio de regras. E sim, Bhaskara conhecia a regra da "fórmula de Bháskara", assim como outros matemáticos anteriores a ele conheciam.

Existem algumas outras frases ditas comumente que não valem em todos os contextos. Se seu professor de Matemática utiliza alguma dessas, ele não está errado, é uma escolha dele. Quando se ensina algo, não convém contar todos os detalhes. Na prática letiva, poderíamos nos aprofundar em assuntos (interessantes, mas) desnecessários, o que poderia atrasar o conteúdo e comprometer o cumprimento do plano de ensino. Essas curiosidades servem para mostrar que a Matemática pode ser diversificada, nem sempre exata, interessante, pulsante e viva.

Referências
*http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/bhaka.html
*Cálculo em uma Variável Complexa - Marcio G. Soares (essa referência foi formatada de acordo com as normas BANT, Blog do Alexandre Normas Técnicas)
*Notas de Aula de Geometria não Euclidiana do professor Edson Agustini

terça-feira, 5 de agosto de 2014

Como Calcular o Consumo Médio de Combustível



Quilometragem no tanque cheio 1  km
Quilometragem no tanque cheio 2  km
Quantidade gasta entre os abastecimentos*  l
Consumo médio km/l

*Basta informar a quantidade que coube no segundo abastecimento.

Como utilizar a calculadora
Encha o tanque duas vezes, observando a quilometragem em cada uma. Coloque a primeira quilometragem no primeiro campo e a segunda no segundo. A quantidade gasta vai ser o que couber no segundo abastecimento (pois o tanque estava cheio antes, logo o que couber agora é o consumo do carro).
Exemplo: coloquei 84870 no primeiro, 85498 no segundo e 59.94 no terceiro. Pela calculadora, meu carro faz 8.8km/l.

Crônica
Já ouviu a expressão "meu carro faz 12km/l"? Essa postagem mostra uma maneira simples de calcular o consumo médio de combustível do seu carro.
Note que a unidade que aparece já nos conta como temos que proceder na conta: $\frac{km}{l}$. Basta tomarmos uma unidade em quilômetros e dividirmos por uma unidade em litros. Se você tiver certeza de quantos quilômetros você fez ($\Delta km$) e quantos litros gastou ($\Delta l$) , o consumo médio ($C_m$) será calculado da seguinte maneira:
$C_m=\dfrac{\Delta km}{\Delta l}$
A maneira mais simples de saber quantos quilômetros rodamos e quantos litros gastamos em um intervalo é encher o tanque duas vezes consecutivas. Na segunda vez que você encher o tanque do carro, se você colocar 45l de combustível, saberá, com uma ótima aproximação, que gastou 45l no intervalo. Observando o odômetro do veículo, podemos saber quantos quilômetros foram percorridos entre os dois abastecimentos.
A calculadora do início da postagem utiliza esse método para fazer o cálculo. Bom proveito!

domingo, 6 de julho de 2014

[Inutilidade] Com Quem Você Faz Aniversário?

Depois de muito tempo afastado, uma postagem de inutilidade pública: descubra com qual famoso (ou quase famoso) você faz aniversário. No meu caso destaco o Roberto Bolaños, eterno chaves (quando eu escrevi ele estava vivo; se quando você estiver lendo ele já tiver morrido, tome a Ellen Page no lugar).
A Wikipedia (biblioteca babilônica da internet) tem uma página para cada dia do ano. Dentro de cada uma, vários temas interessantes que aconteceram nessa data: eventos históricos, feriados e eventos cíclicos. Na guia Nascimentos, é possível ver quem nasceu com você. Caso se interesse, a guia Falecimentos indica quem perdeu a vida no dia em que você ganhou.

segunda-feira, 29 de abril de 2013

Impressoras e Bulk Ink

Recarregar a impressora é chato, além de ser bastante frequente em alguns casos. Acontece que, nos cartuchos comuns, a recarga custa em torno de 15,00 reais e coloca em média 10ml (se você levar em algum lugar confiável que não coloque menos do que a propaganda). Uma conta rápida nos diz que o litro da tinta recarragada custa 1500 reais! Preciosíssimo! Estranhamente, se você for comprar o litro da tinta direto de alguma loja especializada, pode achar por 25 ou 30 reais (inclusive na internet). O problema é a mão de obra para recarregar.

Bulk Ink
O Bulk Ink é um sistema de tinta contínuo que acopla um tanque externo diretamente ao cartucho. Assim, basta encher o tanque que o sistema de mangueiras manterá seus cartuchos sempre carregados. Um dos problemas do Bulk Ink é a "ilegalidade". Este sistema, que compensa muito para quem utilizar bastante a impressora, dá trabalho de instalar. Se você não quiser levar em algum lugar especializado, pode tentar instalar você mesmo. Pessoalmente, tentei duas vezes. Comprei o kit pela internet e segui as instruções anexas e vídeos relativos no YouTube. O que descobri é que nem todos se preocupam em explicar os detalhes e que em alguns casos não há nenhuma instrução compreensível. Detalhes são omitidos, palavras específicas são utilizadas sem explicação e várias outras falhas. Pessoalmente, nunca mais quero tentar um bulk. Fazer sangria, garantir que as mangueiras fiquem sem ar, tomar cuidados dá muito trabalho. Felizmente, existe outra alternativa.

Cartuchos Recarregáveis
São mais simples: basta colocar. Para recarregar, uma seringa com êmbolo faz o serviço. Alguns são chatos, mas recomendo fortemente este método.

Se você está querendo comprar uma impressora agora, pode comprar uma com Bulk instalado e tomar todos os cuidados necessários. Mas a minha recomendação é pela nova impressora da Epson com tanque de tinta, L110 ou L210.
Com esta impressora, a Epson preenche uma brecha do mercado até então ocupada pela "pirataria" do Bulk Ink. Vamos ver se as outras marcas seguirão este exemplo.

sábado, 3 de novembro de 2012

Redes Sociais que Você tem que Conhecer!

Nesta postagem, trataremos das redes sociais não óbvias, ou seja, aquelas que apresentam uma boa proposta, mas não contam com adesão em massa como o Facebook.

Saiba o que acontece na vida dos políticos, as atribuições de cada cargo e o que dizem sobre ele.



Aprenda a fazer vários objetos e compartilhe o que você sabe fazer!


Veja o que falam de várias partes do mundo e tenha a chance de emitir sua opinião também.


Espaço dedicado para discussão sobre a educação como um todo.



Veja aulas de professores gabaritados de grandes universidades. Tradado em uma postagem anterior.


Assista palestras de grandes mentes do mundo todo.


Aprenda uma nova língua e pague por isto ensinando sua língua.


Tenha a chance de se hospedar gratuitamente no sofá de alguém, mundo afora, e hospedar em seu sofá uma pessoa para troca de culturas.



Doe o que você não utiliza mais e tenha a chance de receber algo.




Empreste e tome emprestado objetos em sua vizinhança.


Agradecimento: Bruce Santos do Carmo, por sua palestra.

domingo, 28 de outubro de 2012

Como Deixar o Facebook Mais Limpo

O Facebook é a rede social do momento. Apagou até mesmo o Orkut e outras redes. No entanto, o fato de que, agora, muitas pessoas utilizam o face, pode fazer com que seja um pouco chato utilizá-lo. Aqui vão algumas dicas para deixar mais agradável:

Bloqueie solicitações de certos aplicativos

Vá no endereço

  1. Clique no "x" ao lado do aplicativo;
  2. Clique em "Bloquear Aplicativo?" (note que Aplicativo está em itálico quer dizer que será substituído pelo nome do aplicativo em questão, como The Sims Social ou Meu Calendário).


Assim, você não mais receberá solicitações daquele aplicativo. Caso prefira, pode clicar, ao invés, em "Ignorar todas as solicitações de ..." que este vai se tornar a última solicitação que este contato te envia.

Bloqueie atualizações de certas pessoas

Tem gente que parece que fica 24h no Facebook. Toda hora que você entra, ela está lá e sempre enche sua linha do tempo com diversas mensagens, imagens, declarações melosas ou diversas outras. Bloquear resolve, mas às vezes, por diversas razões, não é isto o que você quer. Há uma forma de você bloquear atualizações desta pessoa sem bloqueá-la. 


  1. Vá no perfil do falastrão e clique em Amigos/Configurações;


  2. Marque "Somente atualizações importantes" para receber apenas aquelas que te envolvem e desmarque qualquer uma das listadas abaixo (Eventos cotidianos, Fotos...).


Isto deve limpar um pouco sua timeline.

Não deixe que te marquem sem que você permita

Acontecia bastante comigo quando adicionei algumas bandas. Sempre era marcado em flyers de festas que eu não tinha interesse em ir, nem nada a ver. Particularmente, excluí estes contatos, mas existe outra solução:

  1. Clique na seta ao lado de "Página inicial" e vá em "Configurações de privacidade";


  2. Procure por "Linha do tempo e marcação" e vá em "Editar configurações";



  3. Na janela que abrir, olhe em "Analisar publicações..." e "Analisar marcações". Troque por "Ativado". Preste atenção nos alertas que o Facebook te der.


O Facebook está sempre em atualização. Se a postagem estiver defasada em virtude de tais alterações, deixe nos comentários que faremos as devidas reformulações.

quarta-feira, 29 de agosto de 2012

Vídeo Aulas das Melhores Universidades

A dica é o Veduca (clique ou vá pelo link http://www.veduca.com.br/index.php).


Este site reúne vídeo aulas ministradas por grandes nomes da universidades renomadas mundo afora. Os vídeos possuem legenda em português para facilitar o entendimento e a difusão do conhecimento. Com ele, sem sair do seu computador, você pode assistir aulas gratuitas do MIT, Harvard, Stanford e (por que não?) até mesmo da USP!

Espero que sirva.

domingo, 1 de julho de 2012

Curso de Pesquisa Avançada Google


Fazer pesquisa no Google é um pouco mais do que digitar algumas palavras e obter muitos resultados - alguns deles nem tão úteis. É possível colocar mais especificações como data, formato de arquivo e muitas outras que nos facilitam a vida. Quer um exemplo? "O Senhor dos Anéis", quando jogado no Google, retorna mais resultados do que realmente precisamos. Mas, se você quiser ler um texto sobre esta obra, seja ela uma FanFic, crítica, explicação ou mesmo a obra, pode digitar "O Senhor dos Anéis filetype:pdf" no Google, para obter resultados apenas em pdf (pode trocar por doc, rtf, txt ou outro formato de texto e até mesmo por mp3 para áudios relacionados).  Para nos ensinar a fazer pesquisa mais eficientemente, o Google, decidiu lançar um curso de pesquisa avançada. As inscrições vão até 16/07/12. Mais informações

http://www.google.com/insidesearch/landing/powersearching.html

quinta-feira, 21 de junho de 2012

Macro Writer BrOffice para Localizar e Substituir

Já precisei em diversas situações de macros no Writer para Localizar e substituir. Vou colocar um exemplo abaixo, mas pode ser utilizar em qualquer situação semelhante.

Sub porExtenso
oDoc = thisComponent
Localizar = Array("0","1","2","3","4","5","6","7","8","9")
Substituir = Array("zero","um","dois","três","quatro","cinco","seis","sete","oito","nove")
Contagem = 0
FandR = oDoc.createReplaceDescriptor
FandR.SearchCaseSensitive = true
FandR.SearchRegularExpression = true
While Contagem <= uBound(Localizar)
FandR.setSearchString(aFind(Contagem))
FandR.setReplaceString(aReplace(Contagem))
Contagem = Contagem + 1
oDoc.ReplaceAll(FandR)
Wend
End Sub

A macro acima substitui números pela sua forma extensa. É apenas um exemplo. Se você quiser, pode substituir à sua maneira, obedecendo à seguinte regra: os caracteres (ou palavras inteiras) a Localizar/Find devem ser inclusos dentro de 'Localizar = Array("")'. Os caracteres a Substituir/Replace, na linha de baixo. Evidentemente, o número de elementos do vetor de cima deve ser igual ao do debaixo, pois a substituição será feita na ordem: o primeiro elemento de Localizar será trocado pelo primeiro elemento de Substituir.

Lidar com macros não é tão trivial, assim, esta postagem é bastante específica. Não tenho a intenção, a priori, de explicar mais sobre como adicionar uma macro ao Writer, a não ser que seja solicitado. O que está aí é uma macro base, que espero que seja útil.

Fonte: http://user.services.openoffice.org/en/forum/viewtopic.php?f=21&t=2437